Цель: Численно-аналитическим методом исследовать напряженно-деформированное состояние тонкой однородной изотропной пластины в форме сектора. Рассмотреть вопрос о возможности использования систем компьютерной алгебры (СКА) (computer algebra system, CAS) для расчета секторальных пластин, работающих на изгиб от поперечной нагрузки. Показать эффективность применения одной из таких СКА на примере системы Maple для выполнения расчетов по методу Ритца — выполнение аналитических преобразований при вычислении интеграла, определяющего функционал полной потенциальной энергии, формирование и решение основной разрешающей системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных числовых коэффициентов в формуле, аппроксимирующей прогиб пластины, визуализация полученного решения. Методы: Используется прямой метод решения вариационной задачи о минимизации функционала полной потенциальной энергии деформации тонкой однородной изотропной пластины в форме сектора — метод Ритца. Решение строится в форме ряда по базисным функциям. В качестве базисных функций выбираются полиномиальные функции, точно удовлетворяющие всем граничным условиям. Результаты: Получено приближенное численно-аналитическое решение задачи изгиба секторальной пластины в форме четверти круга, защемленной по контуру и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. Продемонстрирована эффективность использования системы аналитических вычислений Maple для решения задачи изгиба секторальной пластины вариационным методом Ритца. Показано, что полученное решение быстро сходится как для прогиба, так и для изгибающих моментов и напряжений. Практическая значимость: Предложенный в статье алгоритм решения задач изгиба секторальных пластин может быть рекомендован к практическому использованию при определении напряженно-деформированного состояния таких пластин.
Секторальная пластина, изгиб пластины, функционал полной потенциальной энергии пластины, метод Ритца, системы компьютерной алгебры
1. Noor A. K. Computerized symbolic manipulation in structural mechanics-progress and potential / A. K. Noor, C. M. Andersen // Computers and Structures. - 1979. - Iss. 10. - Pp. 95-118.
2. Brumberg V. A. Specialized celestial mechanics systems for symbolic manipulation / V. A. Brumberg, S. V. Tarasevich, N. N. Vasiliev // Celestial Mechanics. - 1989. - Iss. 45. - Pp. 149-162.
3. Pavlovic M. N. Computers and structures: non-numerical applications / M. N. Pavlovic, E. J. Sapountzakis // Computers & Structures. - 1986. - Vol. 24. - Iss. 3. - Pp. 455-474.
4. Eisenberger M. Application of Symbolic Algebra to the Analysis of Plates on Variable Elastic Foundation / M. Eisenberger // Symbolic Computation - 1990. - Iss. 9. - Pp. 207-213.
5. Ye Z. Application of Maple V to the nonlinear vibration analysis of circular plate with variable thickness / Z. Ye // Computers and Structures. - 1999. - Iss. 71. - Pp. 481-488.
6. Pavlovic M. N. Symbolic computation in structural engineering / M. N. Pavlovic // Computers and Structures. - 2003. - Iss. 81. - Pp. 2121-2136.
7. Кирсанов М. Н. Maple и Maplet. Решения задач механики / М. Н. Кирсанов. - СПб.: Лань, 2012. - 512 с.
8. Голоскоков Д. П. Построение базиса для одномерных краевых задач в системах символьных вычислений / Д. П. Голоскоков // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2017. - Вып. 1. - C. 77-87.
9. Кирсанов М. Н. Математика и программирование в Maple / М. Н. Кирсанов. - М.: IPR MEDIA, 2020. - 164 с.
10. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966.
11. Бубнов И. Г. Труды по теории пластин / И. Г. Бубнов. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.
12. Голоскоков Д. П. Изгиб ребристой пластины при сложном нагружении / Д. П. Голоскоков, А. В. Матросов // Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2021. - Т. 17. - Вып. 2. - С. 120-130.
13. Голоскоков Д. П. Метод начальных функций в расчете изгиба защемленной по контуру тонкой ортотропной пластинки / Д. П. Голоскоков, А. В. Матросов // Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2021.- Т. 17. - Вып. 4. - C. 330-344.
14. Goloskokov D. P. Bending of clamped orthotropic thin plates: polynomial solution / D. P. Goloskokov, A. V. Matrosov // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2022. - Vol. 27(11). - Pp. 2498-2509. - DOI:https://doi.org/10.1177/10812865221075280.
15. Алцыбеев Г. О. Метод суперпозиции в задаче изгиба защемленной по контуру тонкой изотропной пластинки / Г. О. Алцыбеев, Д. П. Голоскоков, А. В. Матросов // Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2022. - Т.18. - Вып. 3. - C. 347-364.
